Буша выступал в сильнейшей лиге мира в начале 70-х годов и стал одним из сильнейших представителей коренного населения Америки в истории хоккея (Буша - представитель народа оджибве). Его карьерный путь начался с Warroad High School в студенческой лиге, а в 1971 году центрфорвард был выбран „Детройтом“ во втором раунде драфта. После успешной Олимпиады 1972 года в Саппоро (серебряные медали в составе сборной США и 6 очков в 6 матчах в личной статистике) Буша забросил шайбу в первом же матче в НХЛ, а в следующем сезоне стал лучшим новичком „Ред Уингз“.
За энхаэловскую карьеру Анри Буша набрал 102 очка в 247 матчах (53 гола, 49 передач), до эпохи шлемов играл в неизменной налобной повязке и заслужил у одноклубников прозвище „Вождь“. В 1977 году он был вынужден завершить спортивную карьеру из-за серьезной травмы глаза. В 1995 году Буша ввели в Зал славы американского хоккея. Троюродный брат хоккеиста Ти Джей О'Ши провел более 1000 матчей в НХЛ и также представлял США на международных соревнованиях.