Тамм выигрывал медали в 1980 году на Олимпиаде в Москве и в 1988 году в Сеуле.
В 1981 и 1983 годах Тамм выигрывал серебряную и золотую медали на Универсиадах.
В 1987 на чемпионате мира Юри стал серебряным призёром.
16 мая 1980 года на соревнованиях в Леселидзе (в то время — Грузинская ССР) на короткое время Тамм стал обладателем мирового рекорда, метнув молот на 80,46 метров.
По окончании спортивной карьеры Тамм занимался как спортом, так и политикой. Он трижды избирался в Рийгикогу (1999, 2003, 2007), в 2001-2008 годах, а также в 2016-2020 годах занимал пост вице-президента Эстонского олимпийского комитета.
С 2012 по 2015 год Юри Тамм руководил администрацией президента Национального олимпийского комитета Украины Сергея Бубки.
Юри Тамм занимал должность председателя комиссий ЕС в Ассоциации Европейских Олимпийских Комитетов.
Кавалер ордена Белой звезды IV степени.
Несколько дней назад ушел из жизни один из главных соперников Тамма — Юрий Седых.
